Zadaci .....

Zadatak 1

Dokazati da je trougao pravougli

a)
ako je jedan ugao jednak razlici druga dva

b)

Ako se uglovi odnose kao 1:2:3

xy^2 (citat):Zadatak 1

Dokazati da je trougao pravougli

a)
ako je jedan ugao jednak razlici druga dva

x+y+z=180

z=x-y

x+y+x-y=180
2x=180
x=90

xy^2 (citat):Zadatak 1

Dokazati da je trougao pravougli

b)

Ako se uglovi odnose kao 1:2:3

x:y:z=1:2:3
x:y=1:2 => y=2x
x:z=1:3 => z=3x

x+2x+3x=180
6x=180
x=30
y=60
z=90

zadatak 2

Konstruisati geometrijsko mjesto tacaka iz kojih se duz vidi pod zadanim uglom

Nacrtamo datu duz i u tacki A konstruisemo zadani ugao α.



Konstruisemo simetralu duzi AB

Zadatak 2 ( II dio)

Na polupravoj A_x konstrusemo normalu A_n u tacki A.



tacka O je presjek simetrale i normale



Iz svake tacke luka AB duž AB se vidi pod uglom α .

Zadatak 2(III dio)

za proizvoljne tacke P. Q R je



Ugao koji odredjuje tetiva sa tangentom u jednoj krajnjoj tacki tetive ( tangentni ugao) jednak je tetivnom uglu koji odgovara toj tetivi.

Zadatak 3

Ako je zbir dva spoljasnja ugla trougla 270^o, onda je taj trougao pravougli. Dokazati.

dokaz

Oznacimo sa α_1 i β_1 date spoljasnje uglove trougla ciji je zbir 270 stepeni, tj. α_1+β_1 =270^o
.Neka su α i β odgovarajuci unutrasnji uglovi. Vrijedi:
β_1+ β=180
α_1+ α=180
odnosno α+β=90

Zadatak 4

U jednakokrakom trouglu ABC (AB=AC) simetrale uglova na osnovici sijeku se pod uglom 110^o . izracunati ugao izmedju simetrale ugla i visine iz vrha B.

Zadatak 5

Koliki je ugao α ako je zbir njegovog suplementnog i komplementnog ugla 4α.

Zadatak 6

Kocka duzine ivice 3 cm i uspravna cetverostrana piramida imaju zajednicku osnovicu i jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?

xy^2 (citat):Zadatak 6

Kocka duzine ivice 3 cm i uspravna cetverostrana piramida imaju zajednicku osnovicu i jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?

Nacrtajmo skicu:


slika 1

Izracunajmo zapreminu kocke
V=a^3
V=3^3
V=27cm^3


slika 2

Zapremina piramide i kocke je 27 cm^3
Zapremina piramide
V_1=Bh/3
V_1=(3^2)*h/3
3h=27
h=9 cm ( visina piramide)
treba izracunati visinu piramide iznad kocke
h_1=h-a
h=9-3
h=6cm
iz krnje piramide


slika 3
B:B_1=h^2:h_1
9:B_1=9^2:6^2
9/B_1 =81/36 /36*B_1/81
B_1=9*36/81=36/9=4


slika 4


slika 5

V_1=B_ 1*h_1/3
V_1=4*6/3
V_1=8 cm^3

Zadatak 7

Za koliko se povećava zbir unutrašnjih uglova mnogougla, ako se broj stranica poveća za 5?

Zadatak 8

Ako se broj stranica mnogougla poveća za 11, onda se broj njegovih dijagonala poveća za 1991. Odrediti zbir unutrašnjih uglova tog mnogougla.

Zadatak 9

Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za dva njegov se ugao poveća za 9o. Odrediti broj stranica mnogougla.

Zadatak 5

Koliki je ugao α ako je zbir njegovog suplementnog i komplementnog ugla 4α.

α+α_1=4α=180
α=180/4=45^o
α_1=135^o

Zadatak 7

Za koliko se povećava zbir unutrašnjih uglova mnogougla, ako se broj stranica poveća za 5?

Zbir uglova mnogougla iznosi 180(n-2) ako se broj stranica poveca za 5 bice
180(n-2)+A=180(n+3)
180n-360+A=180n+540
A=900^o

Zadatak 10

Na hipotenuzi trougla ABC date su tacke M i N tako da je AM=AC i BN=BC. Izracunati ugao MCN.

Zadatak 11

Postoji li trougao sa visinama: h_a=2, h_b=4 i h_c=6?

Zadatak 8

Ako se broj stranica mnogougla poveća za 11, onda se broj njegovih dijagonala poveća za 1991. Odrediti zbir unutrašnjih uglova tog mnogougla.

n(n-3)/2 +1991 =(n+11)(n+/*2
n^2-3n +3982=n^2+22n+88
22n=3894
n=177
Trazeni mnogougao ima 177 stranica

Zadatak 9

Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za dva njegov se ugao poveća za 9o. Odrediti broj stranica mnogoug

a=S_n/n=(n-2)180/n
(n-2)1808n+90=180n/(n+2)
180n^2-4*180+90n(n+2)=180n^2
90n^2+180n=720/:90
n^2-2n-8=0
n= [-2+(4+32)^(1/2)]/2
n=(-2+6)/2=4

To je cetverougao
Slucaj
n= [-2-(4+32)^(1/2)]/2
n=(--2-6)/2 nemoguc broj stranica ne moze biti negativan broj

Zadatak 10

Na hipotenuzi trougla ABC date su tacke M i N tako da je AM=AC i BN=BC. Izracunati ugao MCN.

Trouglovi AMC i NBC su jednakokraki pa imamo

2γ_1+α=180
2γ_2+β=180
Saberemo li ove jednakosti dobijamo

2(γ_1+ γ_2)+α+β=360
2(γ_1+ γ_2)+90=360
2(γ_1+ γ_2)=270/:2
γ_1+ γ_2=135
kako su uglovi γ_1 i γ_2 dijelovi ugla γ=90 odnosno
γ_1+ γ_2=γ+δ
γ+δ=135
90+δ=135
δ=45

δ= ugao MCN=45^o

Zadatak 11

Postoji li trougao sa visinama: h_a=2, h_b=4 i h_c=6?

P=ah_a/2 =bh_b/2 =ch_c/2
P=a*2/2 =b*4/2=c*6/2

Odnosno
a=2b=3c
b=a/2
c=a/3
znamo da za stranice trougla vazi
a+b<c
a+b=a+a/2=3a/2>a/3


Ne postoji ovakav trougao

tj ne postoji trougo za zadanim visinama