..Zadaci..

Zadatak 1

Sta je vece 2^2010 ili 5^861

Zadatak 2

Ispitati funkciju

f(x)=x^3-3x

xy^2 (citat):Zadatak 2

Ispitati funkciju

f(x)=x^3-3x

DP: funkcija je definisana za ∀x∈R

Nule funkcije
f(x)=0

x^3-3x=0
x(x^2-3)=0
x_1=0
x_2=√3
x_3=-√3


Znak funkcije
f(x)>0
(x>0 i x^2-3>0) =>( x>0 i x<-√3 i x>√3)=> x>√3
(x<0 i x^2-3<0) =>( x<0 i -√3 < x<√3)=> x>√3)=> -√3<x<0

f(x)<0

(x>0 i x^2-3<0) =>( x>0 i -√3 i<x<√3)=> 0<x>√3
(x<0 i x^2-3>0) =>( x<0 i x<-√3 i x>√3)=> x>√3)=> x<-√3

Monotonost funkcije

f`(x)=3x^2-3=3(x^2-1)
f`(x)=0
3(x^2-1)=0
X_1=-1 i x_2=1

funkcija raste ako je

f`(x)>0
3(x^2-1)>0
x<-1 i x>1

funkcija opada za
f`(x)<0
3(x^2-1)<0
-1<x<1
Odnosno

f(-1)=2 tj tacka (-1.2) je minimum

f(1)=-2 tj tacka (1,-2) minimum

konveksnost funkcije
f˙˙(x)=2x

f˙´(x)=0
2x=0=>x=0
Funkcija je konveksna za

f˙˙(x)>0
2x>0=>x>0

Funkcija je konkavna za

f˙˙(x)<0
2x<0=>x<0
f(0)=0 tacka (0,0) je tacka infleksije

tacka infleksije jew tacka u kojoj funkcija ptelazi iz konveksne u konkavnu i obrnuto,

Zadatak 3

Odrediti (a,b,c,d)
tako da je

a + b=8
ab + c + d =23
ad + bc = 28
cd = 12

xy^2 (citat):Odrediti (a,b,c,d)
tako da je

a + b=8
ab + c + d =23
ad + bc = 28
cd = 12

Posmatrajmo funkcije
f(x) = x^2 + ax + c
g(x) = x^2 + bx + d

f(x)*g(x) = x^4+ax^3+bx^2+adx+bcx+cd=x^4 + (a+b)x^3 + (ab + c + d)x^2 + (ad+bc)x + cd
[Iz uslova zadatka]= x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 28x + 12= x^4+4x^3+4x^2+4x^3+16x^2+16x+3x^2+12x+12= x^2(x^2+4x+4x)+4x(x^2+4x^2+4)+3(x^2+4x+4)=
(x + 1) (x + 2)^2 (x + 3)

Imamo dva slucaja

1. f(x)*g(x) = (x^2 + 4x + 3) (x^2 + 4x + 4)

f(x)*g(x) = (x^2 + 3x + 2) (x^2 + 5x + 6)

1.1. f(x) = x^2 + 4x + 3
g(x) = x^2 + 4x + 4
(a,b,c,d) = (4,4,3,4)

1.2. f(x) = x^2 + 4x + 4
g(x) = x^2 + 4x + 3
(a,b,c,d) = (4,4,4,3)

2.1. f(x) = x^2 + 3x + 2
g(x) = x^2 + 5x + 6
(a,b,c,d) = (3,5,2,6)
2,2. f(x) = x^2 + 5x + 6
g(x) = x^2 + 3x + 2
(a,b,c,d) = (5,3,6,2)

zadatak 4

Sam lav moze da pojede ovcu za 2 casa, vuk za 3 casa,a pas za 6 caciva. Za koje vrijeme bi oni zajedno pojeli ovcu?

Zadatak 5

Nadji najmanji prirodni broj koji pomnozen sa 2 postaje kvadrat nekog broja,a pomnozen sa 3 postaje kub nekog drugog broja.

Zadatak 6

Naci prirodan broj koji, kad se poveca za 5 ili umanji za 11 , postaje kvadrat nekoga broja.

Zadatak 7

Duzina obima pravougaonika je 24, a zbir povrsina kvadrata konstruisanih nad svim njegovim stranicama iznosi 180. Kolike su stranice tog pravougaonika ?

zadatak 4

Sam lav moze da pojede ovcu za 2 casa, vuk za 3 casa,a pas za 6 caciva. Za koje vrijeme bi oni zajedno pojeli ovcu?

x je vrijeme za koje pojedu zajedno ovcu
x/2 +x/3 +x/6 =1/*6
3x+2x+x=6
6x=6
x=1

Zadatak 5

Nadji najmanji prirodni broj koji pomnozen sa 2 postaje kvadrat nekog broja,a pomnozen sa 3 postaje kub nekog drugog broja.

2n=m^2 (2n mora biti djeljivo sa 4)
3n=p^3(3n mora biti djeljivo sa 9)
n mora biti djeljivo sa 36
2*36=72
korijen iz 72= 6*(2)^1/2 (nije prirodan broj)
2*72=144
(144)^1/2=12
3*72=216
(216)^1/3=6

n=72

Zadatak 6

Naci prirodan broj koji, kad se poveca za 5 ili umanji za 11 , postaje kvadrat nekoga broja.

Najmanji prirodni broj koji je kvadrat nekog broja je 1
1+11=12
12+5=17 (nije kvadrat nekog broja)
sljedeci je 4
4+11=15
15+5=20 (nije kvadrat nekog broja)
za n=9 imamo
9+11=20
20+5=25
trazeni broj je 20

Zadatak 7

Duzina obima pravougaonika je 24, a zbir povrsina kvadrata konstruisanih nad svim njegovim stranicama iznosi 180. Kolike su stranice tog pravougaonika?

2(a+b)=24
a+b=12
b=12-a
2(a^2+b^2)=180
a^2+a^2 -24a+144=90/:2
a^2-12a+27=0
a=9 i b=3

Zadatak 8
x + y + z = 0
x^3 + y^3 + z^3 = 18
x^7 + y^7 + z^7 = 2058

xy^2 (citat):Zadatak 8
x + y + z = 0
x^3 + y^3 + z^3 = 18
x^7 + y^7 + z^7 = 2058

x+y+z=0=>x+y=-z
(x+y))^3=x^3+y^3+3xy^2+3x^2 y=-z^3
x^3+y^3+3xy(x+y)=-z^3
x^3+y^3+z^3=3xyz=18
xyz=6=>x=-1,y=-2 i z=3
2187-1-128

Zadatak 9
R:

100x+10y+x=101x+10y
Broj djeljiv sa 15 znaci on je djeljiv sa 5 i sa 3
Broj djeljiv sa 5 znaci x=0 ili x=5
Cifra jedinica i cifra stotica su jednake znaci x=5.
Ako bi bilo x=0 imali bi dvocifren broj a ne trocifren.
Broj djeljiv sa 3 znaci zbir cifara x+y+x=2x+y djeljivo je sa 3
2x+y=10+y (djeljivo sa 3) =>0<y10
10+y =12=>y=2
Trazeni broj je 525
10+y=15 =>y=5
Trazeni broj je 555
10+y=18=>y=8
Trazeni broj je 585.

Mirela ima troje djece. Najstarije je tri puta starije od najmladjeg, a proizvod godina sve troje djece je 864. Koliko godina ima svako dijete?

R:
xy3x=3x^2y=864
x^2y=288
288=2*2*2*2*2*3*3
0<x<3y
imamo
2 * 2 *72
4 *4 * 18
3 *3 * 32
6 * 6 *8
Uslov vazi Smo za
x=6 i y=8

Ucenik je procitao knjigu za tri dana. Prvog dana je proucitao 3/8 knjige, drugog dana 5/12 knjige, a treceg dana 1/6knjige i jos 10 stranica. Koliko je stranica imala knjiga?
R:
3/8+5/12++1/6=(9+10+4)/24=23/24
10 je 1/24 knjiga odnosno knjiga ima 240 stranica

Ostar ugao i sestina njegovog suplementnog ugla su komplementni uglovi. Odrediti taj ostri ugao.

R:
α+(180-α)/6=90
5α/6-30=90
5α/6=60
α=72^o

Proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva je broj oblika 95a4b. Odrediti nepoznate cifre

xy^2 (citat):Proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva je broj oblika 95a4b. Odrediti nepoznate cifre

x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=95a4b
Medju faktorima proizvoda postoje 2 broja ciji je proizvod 10 ili 20 odnosno trazeni broj mora biti djeljiv sa 10 pa je b=0.
Kako j4e medju tim bnrojevima i broj djeljiv sa 3 dati broj mora biti djeljiv sa 3 tj:
9+5+a+4+0=18+a=18
Trazeni broj je 95040
8*9*10*11*12=95040

Odredi sve cetvorocifrene brojeve oblika abba djeljive sa 45.

xy^2 (citat):Odredi sve cetvorocifrene brojeve oblika abba djeljive sa 45.

45=9*5
Broj abba mora biti djeljiv sa 9 i sa 5.

Broj djeljiv sa 5 za cifru jedinica ima 0 ili 5. U nasem slucaju a=5 ili a=0.
Za a=0 trazeni broj bi bio trocifren pa je a=5.
Broj djeljiv sa 9 ima zbir cifara djeljiv sa 9 tj: 2a+2b=10+2b=18=>2b=8=>b=4
2a+2b=10+2b=27=>2b=17 nemoguce, 2b mora biti paran broj.
10+2b=36=>2b=26=>b=13 nemoguce, b mora biti jednocifren broj.

Trazeni broj je 5445

Odredimo prirodne brojeve n za koje je broj
3^(2n+1)-2^(2n+1)-6^n slozen?

xy^2 (citat):Odredimo prirodne brojeve n za koje je broj
3^(2n+1)-2^(2n+1)-6^n slozen?

3*(3^n )^2-2*(2^n )^2-3^n 2^n
[ Za x=3^n i y=y^n ] imamo
3x^2-2y^2-xy=
3x^2-2y^2-3xy+2xy=
(x-y)(3x+2y)
Za
x-y=3^n-2^n>1 za n≥2 izraz je slozen broj
Za n=1 (3-2)(9+4)=13

3*(3^n)^2-2*(2^n) 3-3^2* 2^n
[x=3^n i y=2^n]
3x^2+2y^2-xy=3x^2+2y^2-xy+2xy=
(x-y)(3x+2y)

x-y=3^n-2^n>1za n≥2 izraz slozen
za n=1 izraz je prost broj
(x-y)(3x+2y)=13

Potpuno analognim postupkom, moguce je pokazati da je za a > 2 i
n > 2 broj
(a + 1)2n+1 - a2n+1 - (a(a + 1))n slozen.
(a+1) [(a+1)^n ]^2-a[a^n ]^2-(a+1)^n a^n=
Smjenom
x=(a+1)^n i y=a^n dobijamo
(a+1) x^2-ay^2-(a+1)xy+axy=
(x-y)(3x+2y)

Za x-y=(a+1)^n-a^n broj je slozen jer je n≥2.
Posmatrajmo ga za n=1.
(a+1-a)(3(a+1)+2a)=(5a+3)

Dokazati da je broj
(3^2000 -1) djeljiv sa 10.

xy^2 (citat):Dokazati da je broj
(3^2000 -1) djeljiv sa 10.

broj 3^2000=(3^4)^500=81^500 ocigledno zavrsava sa 1 pa je zadani broj (3^2000 -1) djeljiv sa 0 (nulom)