Pitagorina teorema

Predgrcke civilizacije



slika 1

(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2= n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2





swlika 2

XII vijek
Bhaskara (Baskara) rodjen je 1114 godine.
Nad hipotenuzom AB trougla ABC konstruisemo kvadrat ABA_1B_1.





slika 5

Povucemo prave A_1B_3 i B_1B_2 tako da je A_1B_3 paralelno sa BC i B_1B_2 paralelno sa AC.
Prava AC presjeca pravu A:1B_3 u C_1.
Kvadrat nad hipotenuzom sastoji se od kvadrata CC_1B_2B_3 i 4 pdudarna trougla. Stranica kvadrata jednaka je razlici kateta a-b (a=BC i b=AC). Imamo

c^2=(a-b)^2-4ab/2 =a^2+b^2

Induski dokaz ili „stolica mlade“



Nad hipotenuzom pravouglog trougla konstruise se kvadrat ABDE. Iz D povuce se normala DC_1 na BC. Tako dobijemo pravougli trougao BDC_1 podudaran sa datim trouglom ABC ( imaju jednke AB=BD i ostre uglove kod B i D ulovi sa normalnim kracima).
Trougao ABC zarotirajmo za 90^o u A suprotnom smjeru rotacije kazaljke na satu oko tacke. doci ce u polozaj AEA_1.
TrougaoBDC_1 zarotirajmo za 90^o u suprotnom smjeru rotacije AD kazaljke na satu oko tacke . doci ce u polozaj EDC_3. Tacke A:1, E, C_3 su kolinearne. Produzavanjem katete BC do C_2 na A_1E dobijamo kvadrat ACC_2A_1 nad AC i kvadrat C_1C_2C_3D nad katetom DC_3=BC. Sad imamojednakost za povrsine:
ABDE=ACC_1DC_3A_1=ACC_2A_1+C_1C_2C_3D
Tj zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom

1769 godine njemacki matematicat iznio je sljedeci dokaz

1906 godine Epstajn (Epstein) je dao sljedeci dokaz.
Kvadrate nad katetama i hipotenuzom podijelicemo
na trougove 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, i 8 kao na slici.

Dokaz od Anerizija (Annairizi) potice iz 900 godine

Havkins (Hawkins) je 1909. godina izveo sljedeci dokaz

URL=https://2img.net/r/ihimizer/i/slika3ht.jpg/][/URL]